Примеры выполнения законов ньютона для вращательного движения. Законы Ньютона

1) Законы Ньютона. Силы в природе.

2) Основные характеристики динамики вращательного движения.

3) Работа и мощность. Механическая энергия.

4) Законы сохранения механики.

Кинематика рассматривает движение тел, не интересуясь причинами, обуславливающими это движение и его изменение.

В основе динамики, которая изучает причины изменения движения, лежат законы Ньютона . Эти законы относятся к фундаментальным законам природы и доказать их справедливость или опровергнуть можно только опытом.

Второй закон Ньютона – основной закон динамики.

Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета .

В динамике вводятся две новые физические величины – масса тела m и сила https://pandia.ru/text/78/157/images/image001_74.gif" width="23" height="26 src=">является количественной мерой действия одного тела на другое.

Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:

1. Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам

2. Если силами разной величины подействовать на одно то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенным силам.

Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной закон динамики: Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image001_74.gif" width="23" height="26 src=">:

В международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2. Эта единица называется ньютоном (Н) .

https://pandia.ru/text/78/157/images/image005_17.gif" width="97" height="60">

Если равнодействующая сила равна нулю, то тело будет оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Второй закон Ньютона также можно записать в виде:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image007_8.gif" width="96" height="36"> (4).

Основной единицей импульса тела в СИ является кг · м/с.

Тогда второй закон Ньютона окончательно примет вид:

Таким образом, скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе.

Силы в природе.

1) Сила всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image010_6.gif" width="134" height="57 src="> (6)

где - гравитационная постоянная, численно равная силе взаимодействия двух тел единичной массы, находящихся на единичном расстоянии друг от друга.

Сила всемирного тяготения является центральной силой, т. е. направленной вдоль прямой соединяющей центры тел.

Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым ускорением, равным ускорению свободного падения ..gif" width="20" height="28 src=">.gif" width="69" height="28 src=">.

Сила, с которой тело действует на опору или подвес, вследствие притяжения к Земле, называется весом тела.

2) Силы трения.

Силы трения появляются при перемещении двух соприкасающихся тел или частей тела относительно друг друга.

Силы трения направлены по касательной к трущимся поверхностям, причем так, что они противодействуют относительному смещению этих поверхностей.

В случае сухого трения, сила трения возникает не только при скольжении одной поверхности по другой, но также и при попытках вызвать такое смещение. В этом случае сила трения называется силой трения покоя .

Опыт показывает, что максимальная сила трения покоя https://pandia.ru/text/78/157/images/image019_6.gif" width="105" height="34 src="> (7)

где N – сила нормального давления, - безразмерный коэффициент, зависящий от рода соприкасающихся тел и чистоты обработки поверхности и называемый коэффициентом

трения.

Следует иметь в виду, что, помимо сил трения, при движении в жидкости или газе возникают силы сопротивления среды, которые могут быть гораздо больше сил трения. Характерной особенностью этих сил является их зависимость от скорости движения тела и его формы.

Если на вал с диском действуют две силы https://pandia.ru/text/78/157/images/image022_6.gif" width="83" height="19">, т. е. когда моменты сил равны по величине и противоположны по направлению.

Псевдовектор

https://pandia.ru/text/78/157/images/image024_3.gif" width="21" height="33 src="> относительно точки О.

Модуль вектора определяется по формуле

https://pandia.ru/text/78/157/images/image027_2.gif" width="99" height="23"> - плечо силы, т. е. кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.

Величину

https://pandia.ru/text/78/157/images/image029_1.gif" width="105" height="51 src="> (11)

называют моментом импульса твердого тела относительно точки.

Физическую величину

(12)

называют моментом инерции материальной точки относительно оси вращения, а величину

(13)

моментом инерции твердого тела.

Любое твердое тело можно разбить на элементарные массы https://pandia.ru/text/78/157/images/image033_1.gif" width="20 height=24" height="24"> от оси вращения..gif" width="133" height="38"> (14),

где https://pandia.ru/text/78/157/images/image037_1.gif" width="14" height="25">- момент инерции относительно новой оси, - расстояние между осями, https://pandia.ru/text/78/157/images/image040_1.gif" width="90" height="33 src="> (15).

Так как , то можно найти и другую форму записи данного закона:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image043_1.gif" width="19" height="29 src=">.gif" width="13" height="25 src=">, то работа этой силы определяется по формуле

https://pandia.ru/text/78/157/images/image047_0.gif" width="24" height="20">, так чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного участка – постоянной. Тогда элементарная работа

https://pandia.ru/text/78/157/images/image049_0.gif" width="183" height="42 src="> (19)

При А > 0, при https://pandia.ru/text/78/157/images/image052_0.gif" width="48" height="47"> ,то А = 0

Для характеристики скорости совершения работы вводится физическая величина, называемая мощностью . Если за время совершается работа https://pandia.ru/text/78/157/images/image055_0.gif" width="74" height="53 src="> (20)

называется средней мощностью , а величина

https://pandia.ru/text/78/157/images/image057_0.gif" width="100" height="23"> можно получить

https://pandia.ru/text/78/157/images/image059_0.gif" width="92" height="65 src="> (23)

называют кинетической энергией тела.

Работа равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии тела.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image061.gif" width="84" height="58 src="> (25)

Элементарная работа переменной силы при вращательном движении равна:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image063.gif" width="116" height="69 src="> (27)

Механическая мощность при вращательном движении определяется выражением:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image071.gif" width="218" height="33 src="> (33)

называют импульсом системы тел (частиц) и тогда

Для замкнутой системы тел равнодействующая всех внешних сил равна нулю, т. е..gif" width="62" height="56">,

называется полной механической энергией системы и тогда

(38),

полная механическая энергия системы изменяется на величину работы внешней силы.

Из данного уравнения следует невозможность создания вечного двигателя первого рода, т. е. двигателя который совершал бы работы больше, чем затрачено энергии.

Для замкнутой системы работа внешних сил равна нулю, и поэтому https://pandia.ru/text/78/157/images/image083.gif" width="89 height=24" height="24">

Это утверждение выражает закон сохранения энергии: полная механическая энергия замкнутой системы

остается величиной постоянной.

1. Производная но времени от количества движения К материальной точки или системы материальных точек относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета равна главному вектору F всех внешних сил, приложенных к системе:
dK/dt = F или mac = F

где ac - ускорение центра инерции системы, а т - ее масса.
В случае поступательного движения твердого тела с абсолютной скоростью v скорость центра инерции vc = v. Поэтому при рассмотрении поступательного движения твердого тела это тело можно мысленно заменить материальной точкой, совпадающей с центром инерции тела, обладающей всей его массой и движущейся под действием главного иехтора внешних сил, приложенных к телу.
В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы координат уравнения основного закона динамики поступательного движения системы имеют вид:
Fx = dK/dt, Fy = dK/dt, Fz = dK/dt

или
macx = Fx , macy = Fy , macz = Fz

2. Простейшие случаи поступательного движения твердого тела.
а) Движение по инерции (F = 0):
mv = const, a=0.

б) Движение под действием постоянной силы:
d/dt (mv) = F = const, mv = Ft + mv0,

где mv0 - количество движения тела в начальный момент времени t = 0.
в) Движение под действием переменной силы. Изменение количества движения тела за промежуток времени от t1 до t2 равно
mv2 - mv1 = Fcp (t2 - t1)

где Fcp - среднее значение вектора силы в интервале времени времени от t1 до t2.

Другие записи

10.06.2016. Первый закон Ньютона

1. Первый закон Ньютона: всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.Этот…

10.06.2016. Сила

1. Сила - векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на материальную точку или тело со стороны других тел или полей. Сила полностью задана, если указаны ее численное значение, направление…

10.06.2016. Третий закон Ньютона

1. Действия двух материальных точек друг на друга численно равны и направлены в противоположные стороны:Fij = - Fji,где i не равно j. Эти силы приложены к разным точкам и могут взаимно уравновешиваться…

МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Краткая теория

В качестве меры механического действия одного тела на другое в механике вводится векторная величина, называемая силой. В рамках классической механики имеют дело с гравитационными силами, а также с упругими силами и силами трения.

Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя материальными точками, в соответствии с законом всемирного тяготения, пропорциональна произведению масс точек и , обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена по прямой, соединяющей эти точки:

, (3.1)

где G =6,67∙10 -11 м 3 /(кг∙с 2) - гравитационная постоянная.

Сила тяжести – это сила притяжения в гравитационном поле небесного тела:

где - масса тела; - ускорение свободного падения, - масса небесного тела, - расстояние от центра масс небесного тела до точки, в которой определяется ускорение свободного падения (рис. 3.1).

Вес - это сила, с которой тело действует на опору или подвес, неподвижные относительно данного тела. Например, если тело с опорой (подвесом) неподвижны относительно Земли, то вес равен силе тяжести , действующей на тело со стороны Земли. В противном случае вес , где - ускорение тела (с опорой) относительно Земли.

Упругие силы

Всякое реальное тело под действием приложенных к нему сил деформируется, то есть изменяет свои размеры и форму. Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Действующей на тело (пружину) силе противодействует упругая сила. С учетом направления действия для упругой силы имеет место формула:

где k - коэффициент упругости (жесткость в случае пружины), - абсолютная деформация. Утверждение о пропорциональности между упругой силой и деформацией носит название закона Гука. Этот закон справедлив только для упругих деформаций.

В качестве величины, характеризующей деформацию стержня, естественно взять относительное изменение его длины:

где l 0 - длина стержня в недеформированном состоянии, Δl – абсолютное удлинение стержня. Опыт показывает, что для стержней из данного материала, относительное удлинение ε при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:

, (3.5)

где E - модуль Юнга (величина, характеризующая упругие свойства материала). Эта величина измеряется в паскалях (1Па=1Н/м 2). Отношение F/S представляет собой нормальное напряжение σ , поскольку сила F направлена по нормали к поверхности.

Силы трения

Придвижении телапо поверхности другого тела или в среде (воде, масле, воздухе и т.д.) оно встречает сопротивление. Это сила сопротивления движению . Она является результирующей сил сопротивления формы тела и трения: . Сила трения всегда направлена вдоль поверхности соприкосновения в сторону, противоположную движению. Если имеется жидкая смазка, это будет уже вязкое трение между слоями жидкости. Аналогично обстоит дело и при движении тела, полностью погруженного в среду. Во всех этих случаях сила трения зависит от скорости сложным образом. Для сухого трения эта сила сравнительно мало зависит от скорости (при малых скоростях). Но трение покоя нельзя определить однозначно. Если тело покоится и нет силы, стремящейся сдвинуть тело, равна нулю. Если такая сила есть, тело не сдвинется до тех пор, пока эта сила не станет равной некоторому значению , называемому максимальным трением покоя. Сила трения покоя может иметь значения от 0 до , что отражено на графике (рис. 3.2, кривая 1) вертикальным отрезком. В соответствии с рис. 3.2 (кривая 1), сила трения скольжения с увеличением скорости вначале несколько убывает, а затем начинает возрастать. Законы сухого трения сводятся к следующему: максимальная сила трения покоя, а также сила трения скольжения не зависят от площади соприкосновения трущихся тел и оказываются приблизительно пропорциональными величине силы нормального давления , прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:

где - безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения (соответственно покоя или скольжения). Он зависит от природы и состояния трущихся поверхностей, в частности от их шероховатости. В случае скольжения коэффициент трения является функцией скорости.

Трение качения подчиняется формально тем же законам, что и трение скольжения, но коэффициент трения в этом случае оказывается значительно меньшим.

Сила вязкого трения обращается в нуль вместе со скоростью. При малых скоростях она пропорциональна скорости:

где - положительный коэффициент, характерный для данного тела и данной среды. Величина коэффициента зависит от формы и размеров тела, состояния его поверхности и от свойства среды, называемого вязкостью. Этот коэффициент зависит и от скорости , однако при малых скоростях во многих случаях его можно практически считать постоянным. При больших скоростях линейный закон переходит в квадратичный, то есть сила начинает расти пропорционально квадрату скорости (рис. 3.2, кривая 2).

Первый закон Ньютона: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Первый закон Ньютона утверждает, что состояние покоя или равномерного прямолинейного движения не требует для своего поддержания каких-либо внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое инерцией. Соответственно первый закон Ньютона также называют законом инерции , а движение тела, свободного от внешних воздействий, - движением по инерции .

Опыт показывает, что всякое тело «оказывает сопротивление» при любых попытках изменить его скорость – как по модулю, так и по направлению. Это свойство, выражающее степень неподатливости тела к изменению его скорости, называется инертностью . У различных тел оно проявляется в разной степени. Мерой инертности служит величина, называемая массой. Тело с большей массой является более инертным, и наоборот. В рамках ньютоновской механики масса обладает следующими двумя важнейшими свойствами:

1) масса – величина аддитивная, то есть масса составного тела равна сумме масс его частей ;

2) масса тела как такового – величина постоянная, не изменяющаяся при его движении.

Второй закон Ньютона: под действием результирующей силы тело приобретает ускорение

Силы и приложены к разным телам. Эти силы одной природы.

Импульс – векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

где - импульс тела, - масса тела, - скорость тела.

Для точки, входящей в систему точек:

, (3.11)

где - скорость изменения импульса i –ой точки системы; - сумма внутренних сил, действующих на i –ю точку со стороны всех точек системы; - результирующая внешняя сила, действующая на i –ю точку системы; N- число точек в системе.

Основное уравнение динамики поступательного движения для системы точек:

, (3.12)

где - скорость изменения импульса системы; - результирующая внешняя сила, действующая на систему.

Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела:

,

(3.13)

где - результирующая сила, действующая на тело; - скорость центра масс тела, скорость изменения импульса центра масс тела.

Вопросы для самоподготовки

1. Назовите группы сил в механике, дайте им определение.

2. Дайте определение результирующей силы.

3. Сформулируйте закон всемирного тяготения.

4. Дайте определение силы тяжести и ускорения свободного падения. От каких параметров зависят эти физические величины?

5. Получите выражение для первой космической скорости.

6. Расскажите о весе тела, условиях его изменения. Какова природа этой силы?

7. Сформулируйте закон Гука и укажите границы его применимости.

8. Расскажите о сухом и вязком трении. Объясните, как зависит сила сухого и вязкого трения от скорости движения тела.

9. Сформулируйте первый, второй и третий законы Ньютона.

10. Приведите примеры выполнения законов Ньютона.

11. Почему первый закон Ньютона называют законом инерции?

12. Дайте определение и приведите примеры инерциальных и неинерциальных систем отсчета.

13. Расскажите о массе тела как мере инертности, перечислите свойства массы в классической механике.

14. Дайте определение импульса тела и импульса силы, укажите единицы измерения этих физических величин.

15. Сформулируйте и запишите основной закон динамики поступательного движения для изолированной материальной точки, точки системы, системы точек и твердого тела.

16. Материальная точка начинает двигаться под действием силы F x , график временной зависимости которой представлен на рисунке. Изобразите график отражающий зависимость величины проекции импульса p x от времени.

Примеры решения задач

3 .1 . Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке, радиус которой , а коэффициент трения зависит только от расстояния до центра площадки по закону где постоянная. Найти радиус окружности с центром в точке , по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость?

Дано: Найти:

R, r(v max ), v max .

В задаче рассматривается движение велосипедиста по окружности. Так как скорость велосипедиста по модулю постоянна, то он движется с центростремительным ускорением под действием нескольких сил: силы тяжести , силы реакции опоры и силы трения (рис.3.4).

Применяя второй закон Ньютона, получим:

++ + =m . (1)

Выбрав оси координат (рис.1.3), запишем уравнение (1) в проекциях на эти оси:

С учетом того, что F тр =μF N = mg , получим выражение для скорости:

. (2)

Для нахождения радиуса r , при котором скорость велосипедиста максимальна, необходимо исследовать функцию v(r) на экстремум, то есть найти производную и приравнять ее к нулю:

= =0. (3)

Знаменатель дроби (3) не может быть равным нулю, тогда из равенства нулю числителя получим выражение для радиуса окружности, при котором скорость максимальна:

Подставляя выражение (4) в (2), получим искомую максимальную скорость:

.

Ответ: .

На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы m1 и на ней брусок массы m2. К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем по закону где c - постоянная. Найти зависимость от ускорения доски и бруска если коэффициент трения между доской и бруском равен. Изобразите примерные графики этих зависимостей.

Дано: Найти:

m 1 , 1.

m 2 , 2.

В задаче рассматривается поступательное движение двух соприкасающихся тел (доски и бруска), между которыми действует сила трения. Между доской и плоскостью сила трения отсутствует. Сила F , приложенная к бруску, растет со временем, поэтому до некоторого момента времени брусок и доска движутся вместе с одинаковым ускорением, а при брусок начнет обгонять доску, будет скользить по ней. Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Поэтому силы трения, действующие на доску и брусок , направлены так, как показано на рисунке 3.5, причем . Пусть момент начала отсчета времени t= 0совпадает с началом движения тел, тогда сила трения будет равна максимальной силе трения покоя (где сила нормальной реакции доски, уравновешенная силой тяжести бруска ). Ускорение доски возникает под действием одной силы трения , направленной так же, как и сила .

Зависимость ускорения доски и ускорения бруска от времени можно найти из уравнения второго закона Ньютона, записанного для каждого тела. Поскольку вертикальные силы, действующие на каждое из тел, скомпенсированы, то уравнения движения для каждого из тел можно записать в скалярной форме (для проекций на ось ОХ):

Учитывая, что , = , можно получить:

. (1)

Из системы уравнений (1) можно найти момент времени , учитывая, что при :

.

Решив систему уравнений (1) относительно , можно получить:

(при ). (2)

При ускорения и различны, но сила трения имеет определенное значение , тогда:

(3)

График зависимости ускорений от времени для тел и можно построить на основании выражений (2) и (3). При график представляет собой прямую, выходящую из начала координат. При график прямая, параллельная оси абсцисс, график прямая, идущая вверх более круто (рис.3.6).

Ответ: при ускорения

при . Здесь .

3.3. В установке (рисунок 3.7) известны угол φ наклонной плоскости с горизонтом и коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Считая, что в начальный момент оба тела неподвижны, найти отношение масс , при котором тело :

1) начнет опускаться;

2) начнет подниматься;

3) будет оставаться в покое.

Дано: Найти:

Решение:

В задаче рассматриваются два тела, связанные нитью и совершающие поступательное движение. На тело массы действуют сила тяжести сила нормальной реакции наклонной плоскости, сила натяжения нити и сила трения . На тело действуют только сила тяжести и сила натяжения нити (рис. 3.7). В условиях равновесия ускорения первого и второго тела равны нулю , а сила трения является силой трения покоя, и ее направление противоположно направлению возможного движения тела . Применяя второй закон Ньютона для первого и второго тела, получаем систему уравнений:

(1)

Bследствие невесомости нити и блока . Выбрав оси координат (рис.3.7 а , 3.7 б ), запишем для каждого тела уравнение движения в проекциях на эти оси. Тело начнет опускаться (рис. 3.7 а ) при условии:

(2)

При совместном решении системы (2) можно получить

(3)

С учетом того, что выражение (3) можно записать в виде:

(4)

Продифференцировав момент импульса по времени, получим основное уравнение динамики вращательного движения, известное как второй закон Ньютона для вращательного движения, формулируемый следующим образом: скорость изменения момента импульса L тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту всех внешних сил M , приложенных к телу, относительно этой точки:

d L /dt = M (14)

Так как момент импульса вращающегося тела прямо пропорционален угловой скорости  вращения, а производная d /dt есть угловое ускорение  , то это уравнение может быть представлено в виде

J  = M (15)

где J – момент инерции тела.

Уравнения (14) и (15), описывающие вращательное движение тела, по своему содержанию аналогичны второму закону Ньютона для поступательного движения тел (m a = F ). Как видно, при вращательном движении в качестве силы F используется момент силы M , в качестве ускорения a – угловое ускорение  , а роль массы m , характеризующей инерционные свойства тела, играет момент инерции J .

Момент инерции

Момент инерции твердого тела определяет пространственное распределение массы тела и является мерой инертности тела при вращательном движении. Для материальной точки, или элементарной массы m i , вращающейся вокруг оси, введено понятие момента инерции, который представляет собой скалярную величину, численно равную произведению массы на квадрат расстояния r i до оси:

J i = r i 2 m i (16)

Момент же инерции объемного твердого тела есть сумма моментов инерции составляющих его элементарных масс:

Для однородного тела с равномерно распределенной плотностью = m i /V i (V i – элементарный объем) можно записать:

или, в интегральной форме (интеграл берется по всему объему):

J =  ∫ r 2 dV (19)

Использование уравнения (19) позволяет рассчитать моменты инерции однородных тел различной формы относительно любых осей. Наиболее простой результат, однако, получается при расчете моментов инерции однородных симметричных тел относительно их геометрического центра, который в данном случае является центром масс. Рассчитанные таким образом моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы относительно осей, проходящих через центры масс, приведены в таблице 1.

Момент инерции тела относительно любой оси можно найти, зная собственный момент инерции тела, т.е. момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс, используя теорему Штейнера. Согласно ей момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J 0 относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния r между осями:

J = J 0 + m r 2 (20)

Ось, при вращении тела вокруг которой, не возникает момент силы, стремящийся изменить положение оси в пространстве, называется свободной осью данного тела. У тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси, проходящие через его центр масс, которые называются главными осями инерции тела. Собственные моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции.

Таблица 1.

Моменты инерции некоторых однородных тел (с массой m ) правильной геометрической формы относительно осей, проходящих через центры масс

Описание установки и принципа измерений:

Установка, используемая в настоящей ра­боте для изучения основных закономерностей динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, называется маятни­ком Обербека. Общий вид установки показан на рисунке 4.

Основным элементом установки, осуществляющим вращательное движение вокруг оси, перпенди­кулярной плоскос­ти рисунка, является крестовина1 , состоящая из четырех ввинченных в шкив 2 под прямым углом друг к другу стержней (спиц), на каждый из которых надет свободно пере­мещаемый вдоль стержня ци­линдрический гру­з 3 массой , закрепляемый в нужном положе­нии винтом4 . Вдоль всей длины спиц с сантиметровым интер­валом нанесены поперечные нарезки, с помощью которых можно легко отсчи­тать расстоя­ния от центра расположения грузов до оси вращения. Пере­мещением грузов достигается изменение момента инерции J всей крестовины.

Вращение крестовины происходит под действием силы натяжения (силы уп­ругости) нити 5 , закрепленной одним своим концом в каком-либо одном из двух шкивов (6 , или 7 ), на который при вращении крестовины она наматывается. Другой конец нити с прикрепленным к нему гру­зом P 0 8 переменной массы m 0 перекидывается через неподвижный блок 9 , который меняет направление вращающей силы натяжения, сов­падающей с касательной к соответствующему шкиву. Использование од­ного из двух шкивов, различающихся радиусами, позволяет изменять плечо вращающей силы, а, следовательно, и ее момент M .

Проверка различных закономерностей вращательного движения в данной работе сводится к измерению времени t опускания груза с высоты h .

Для определения высоты опускания груза на маятнике Обербека служит миллиметровая шкала 10 , прикрепленная к вертикальной стойке 11 . Величина h соответствует расстоянию между рисками, одна из которых нанесена на верхнем подвижном кронш­тейне 12 , а другая – на нижнем кронштейне 13 , укреп­ленном неподвижно в стойке 11 . Подвижный кронштейн можно, перемещая вдоль стойки, фиксировать в любом нужном положении, задавая высоту опускания груза.

Автоматическое измерение времени опускания груза осуществляется с помощью электронного миллисекундомера, цифровая шкала которого 14 расположена на передней панели, и двух фотоэлектрических датчиков, один из которых 15 закреплен на верхнем кронштейне, а другой 16 – на нижнем неподвижном кронштейне. Датчик 15 подает сигнал запуска электронного секундомера при начале движения груза от его верхнего положения, а датчик 16 при достижении грузом нижнего положения подает сигнал, который останавливает секундомер, фиксируя время t прохождения грузом расстояния h , и одновременно включает расположенный за шкивами 6 и 7 тормозной электромагнит, останавли­вающий вращение крестовины.

Упрощенная схема маятника представлена на рисунке 5.

На грузP 0 действуют постоянные силы: сила тяжести mg и сила натяжения нити T , под действием которых груз движется вниз равноуско­ренно с ускорением a . Шкив радиуса r 0 под действием силы натяжения нити T вращается с угловым ускорением , при этом тангенциальное ускорение a t край­них точек шкива будет равно ускорению a опускающегося груза. Ускорения a и  связаны соотношением:

a = a t = r 0 (21)

Если время опускания груза P 0 обозначить через t , а пройден­ный им путь через h , то по закону равноускоренного движения при начальной скорости, равной 0, ускорение a может быть найдено из соотношения:

a = 2h /t 2 (22)

Измерив штангенциркулем диаметр d 0 соответствующего шкива, на который намотана нить, и вычислив его радиус r o , из (21) и (22) можно рассчитать угловое ускорение вращения крестовины:

 = a /r 0 = 2h /(r 0 t 2) (23)

Когда привязанный к нити груз опускается, двигаясь равноускоренно, нить разматывается и приводит маховик в равноускоренное вращательное движение. Сила, вызывающая вращение тела, есть сила натяжения нити. Ее можно определить из следующих соображений. Поскольку, согласно второму закону Ньютона, произведение массы движущегося тела на его ускорение равно сумме действующих на тело сил, то в данном случае на подвешенное на нити и опускающееся с равномерным ускорением a тело массой m 0 действуют две силы: вес тела m 0 g , направленный вниз, и сила натяжения нити T , направленная вверх. Поэтому имеет место соотношение:

m 0 a = m 0 g – T (24)

T = m 0 (g – a ) (25)

Следовательно, вращающий момент будет равен:

M = Tr 0 = (m 0 g – m 0 a )r 0 (26)

где r 0 – радиус шкива.

Если пренебречь силой трения диска об ось крестовины, то мож­но считать, что на крестовину действует только момент M силы натяжения нити T . Поэтому, воспользовавшись вторым законом Ньютона для вращательного движения (13), можно рассчитать мо­мент инерции J крестовины с вращающимися на ней грузами с учетом (16) и (19) по формуле:

J = M / = m 0 (g – a )r 0 2 t 2 /2h (27)

или, подставляя выражение для a (15):

J = m 0 r 0 2 (t 2 g /2h – 1) (28)

Полученное уравнение (28) является точным. В то же время, проделав опыты по определению ускорения движения груза P 0 , можно убедиться, что a << g , и поэтому в (27) значение (g – a ), пренебрегая величиной a , можно принять равным g . Тогда выражение (27) примет вид:

J = M / = m 0 r 0 2 t 2 g /2h (29)

Если величины m 0 , r 0 и h в ходе проведения опытов не меняются, то между моментом инерции крестовины и временем опускания груза имеется простая квадратичная зависимость:

J = Kt 2 (30)

где K = m 0 r 0 2 g /2h . Таким образом, измерив время t опускания груза массой m 0 , и зная высоту его опускания h , можно рассчитать момент инерции крестовины, состоящей из спиц, шкива, в котором они закреплены, и грузов, находящихся на крестовине. Формула (30) позволяет проверить основные закономерности динамики вращательного движе­ния.

Если момент инерции тела постоянен, то разные вращающие моменты М 1 и М 2 сообщат телу разные угловые ускорения ε 1 и ε 2 , т.е. будем иметь:

M 1 = J ε 1 , M 2 = J ε 2 (31)

Сравнивая эти выражения, получаем:

M 1 /M 2 = ε 1 /ε 2 (32)

С другой стороны, один и тот же вращающий момент сообщит телам с разными моментами инерции различные угловые ускорения. Действительно,

M = J 1 ε 1 , M = J 2 ε 2 (33)

J 1 ε 1 = J 2 ε 2 , или J 1 /J 2 = ε 1 /ε 2 (34)

Порядок выполнения работы:

Задание 1 . Определение момента инерции крестовины и проверка зависимости углового ускорения от момента вращающей силы.

Задание выполняется с крестовиной без надетых на нее грузов.

Выберите и установите высоту h опускания груза m 0 путем перемещения верхнего подвижного кронштейна 12 (высота h может быть задана преподавателем). Значение h занесите в таблицу 2.

Измерьте штангенциркулем диаметр выбранного шкива и найдите его радиус r 0 . Значение r 0 занесите в таблицу 2.

Выбрав наименьшее значение массы m 0 , равное массе подставки, на которую надеваются дополнительные грузы, намотайте нить на выбранный шкив так, чтобы груз m 0 был под­нят на высоту h . Измерьте три раза время t 0 опускания этого груза. Данные запишите в таблицу 2.

Повторите предыдущий опыт, для различных (от трех до пяти) масс m 0 опускающегося груза, учтя массу подставки, на которую одеваются грузы. Массы подставки и грузов указаны на них.

После каждого опыта проведите следующие расчеты (занося их результаты в таблицу 2):

1. рассчитайте среднее время опускания груза t 0 ср. и, используя его, по формуле (22) определите линейное ускорение грузов a . С таким же ускорением движутся точки на поверхности шкива;

   зная радиус шкива r 0 , по формуле (23) найдите его угловое ускорение ε;

   используя полученное значение линейного ускорения a по формуле (26) найдите вращающий момент М ;

   на основе полученных значений ε и M вычислите по формуле (29) момент инерции маховика J 0 без грузов на стержнях.

По результатам всех опытов рассчитайте и занесите в таблицу 2 среднее значение момента инерции J 0,ср. .

Для второго и последующих опытов рассчитайте, занося результаты расчетов в таблицу 2, отношения ε i /ε 1 и М i /M 1 (i – номер опыта). Проверьте правильность соотношения М i /M 1 = ε 1 /ε 2 .

По данным таблицы 2 для какой-нибудь одной строки рассчитайте погрешности измерений момента инерции по формуле:

 J = J 0 /J 0, ср. = m 0 /m 0 + 2r 0 /r 0 + 2t /t ср. + h /h ; J 0 =  J J 0,ср.

Значения абсолютных погрешностей r , t , h считайте равными приборным погрешностям; m 0 = 0,5 г.

Таблица 2.

Задание 2 . Проверка зависимости углового ускорения от величины момента инерции при неизменном вращающем моменте.

Крестови­на состоит из четырех спиц (стержней), четырех грузов и двух шкивов, насажен­ных на ось вращения. Так как массы шкивов малы и близко расположены к оси вращения, мож­но считать, что момент инерции J всей крестовины равен сумме мо­ментов инерции всех стержней (т.е. момента инерции крестовины без грузов J 0) и моментов инерции всех грузов, находящихся на стрежнях J гр, т.е.

J = J 0 + J гр (35)

Тогда момент инерции грузов относительно оси вращения ра­вен:

J гр = J – J 0 (36)

Обозначив момент инерции крестовины с грузами, находящимися на расстоянии r 1 от оси вращения через J 1 , а соот­ветствующий момент инерции самих грузов через J гр1 , перепишем (36) в виде:

J гр1 = J 1 – J 0 (37)

Аналогично для грузов, расположенны­х на расстоянии r 2 от оси вращения:

J гр2 = J 2 – J 0 (38)

Учитывая приближенное соотношение (30), имеем:

J гр 1 = Kt 1 2 – Kt 0 2 = K (t 1 2 – t 0 2) и J гр 2 = Kt 2 2 – Kt 0 2 = K (t 2 2 – t 0 2) (39)

где t 1 – время опускания груза m 0 для случая, когда грузы на стержнях укреплены на расстоянии r 1 от оси вращения; t 2 – время опускания груза m 0 при закреплении грузов на стержнях на расстоянии r 2 от оси вращения; t 0 – время опускания груза m 0 при вращении крестовины без грузов.

Отсюда следует, что отношение моментов инерции грузов, находя­щихся на разных расстояниях от оси вращения, связано с временными характеристиками процесса опускания груза m 0 в виде:

J гр 1 /J гр 2 = (t 1 2 – t 0 2)/(t 2 2 – t 0 2) (40)

С другой стороны, приняв приближенно 4 груза, находящиеся на крестовине, за точечные массы m , можно считать, что:

J гр 1 = 4mr 1 2 и J гр 2 = 4mr 2 2 , (41)

J гр1 /J гр2 = r 1 2 /r 2 2 (42)

Совпадение правых частей уравнений (40) и (42) могло бы служить экспериментальным подтверждением наличия прямой пропорциональной зависимости момента инерции материальных точек от квадрата их расстояния до оси вращения. На самом деле оба соотношения (40) и (42) являются приблизительными. Первое из них получено в предположении, что ускорением a опускания груза m 0 можно пренебречь в сравнении с ускорением свободного падения g , и, кроме того, при его выводе не учтен момент сил трения шкивов об ось и момент инерции всех шкивов относитель­но оси вращения. Второе относится к точечным массам (т.е. массам тел, размерами которых можно пре­небречь по сравнению с их расстоянием до центра вращения), каковыми цилиндрические грузы не являются, и поэтому, чем дальше от оси вращения они находятся, тем точнее выполняется соотношение (42). Этим и можно объяснить некоторое расхождение результатов, по­лучаемых экспериментально, с теорией.

Для проверки зависимости (42) проделайте опыты в следую­щей последовательности:

Закрепите 4 груза на стержнях ближе к их концам на одинаковом расстоянии от шкива. Определите и запишите в таблицу 3 расстояние r 1 от оси вращения до центров масс грузов. Оно определяется по формуле: r 1 = r ш + l + l ц /2, где r ш – радиус шкива, на котором закреплены стержни, l – расстояние от груза до шкива, l ц – длина цилиндрического груза. Диаметр шкива и длину грузов измерьте штанген­циркулем.

Измерьте три раза время t 1 опускания груза m 0 и рассчитайте среднее значение t 1ср. . Опыт проделайте для тех же масс m 0 , что и в задании 1. Данные запишите в таблицу 3.

Сдвиньте грузы на спицах к центру на произвольное, одина­ковое для всех спиц расстояние r 2 < r 1 . Вычислите это расстояние (r 2) с учетом замечаний в п. 1 и запишите в таблицу 3.

Измерьте три раза время t 2 опускания груза m 0 для этого слу­чая. Рассчитайте среднее значение t 2ср. , повторите опыт для тех же масс m 0 , как и в п. 2 и запишите полученные данные в таблицу 3.

Перенесите из таблицы 2 в таблицу 3 значения t 0ср. , полученные в предыдущем задании для соответствующих значений m 0 .

Для всех значений m 0 , используя имеющиеся средние значения t 0 , t 1 и t 2 , по формуле (40) рассчитайте величину b , равную отношению моментов инерции грузов, находящихся на разных расстояниях от оси вращения: b = J гр.1 /J гр.2 , и определите b ср. . Результаты запишите в таблицу 3.

По данным любой одной строки таблицы 3 рассчитайте пог­решность, допущенную при определении отношения (40), пользуясь правилами нахождения погрешностей при косвенных измерениях:

 b = b /b ср. = 2t (t 1 + t 0)/(t 1 2 – t 0 2) + 2t (t 2 + t 0)/(t 2 2 – t 0 2); b =  b b ср.

Рассчитайте значение отношения r 1 2 /r 2 2 и запишите в таблицу 3. Сравните это отношение со значением b ср. и проанализируйте некоторые расхождения в пределах погреш­ности опыта полученных результатов с теорией.

Таблица 3.

Задание 3 . Проверка формул для моментов инерции тел правильной формы.

Теоретически рассчитанные формулы для определения собственных моментов инерции различных однородных тел правильной формы, т.е. моментов инерции относительно осей, проходящих через центры масс этих тел, приведены в таблице 1. В то же время, пользуясь полученными в заданиях 1 и 2 экспериментальными данными (таблицы 2 и 3) можно рассчитать собственные моменты инер­ции таких тел правильной формы, как грузы, надеваемые на стержни крестовины, а также сами стержни, и сравнить полученные значения с теоретическими значениями.

Так, момент инерции четырех грузов, находящихся на расстоянии r 1 от оси вращения, можно рассчитать на основе экспериментально определенных величин t 1 и t 0 по формуле:

J гр1 = K (t 1 2 – t 0 2) (43)

Коэффициент K в соответствии с введенным в (23) обозначением составляет

K = m 0 r 0 2 g /2h (44)

где m 0 – масса опускающегося груза, подвешенного на нити; h – высота его опускания; r 0 – радиус шкива, на который наматывается нить; g – ускорение свободного падения (g = 9,8 м/с 2).

Рассматривая грузы, надетые на спицы, как однородные цилиндры с массой m ц и учитывая правило аддитивности моментов инерции, можно считать, что момент инерции одного такого цилиндра, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной его оси вращения и расположенной на расстоянии r 1 от его центра масс, составляет

J ц1 = K (t 1 2 – t 0 2)/4 (45)

По теореме Штейнера этот момент инерции является суммой момента инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс цилиндра перпендикулярно его оси вращения J ц0 , и значения произведения m ц r 1 2:

J ц1 = J ц0 + m ц r 1 2 (46)

J ц 0 = J ц 1 – m ц r 1 2 = K (t 1 2 – t 0 2)/4 – m ц r 1 2 (47)

Таким образом, мы получили формулу для экспериментального определения собственного момента инерции цилиндра относительно оси, перпендикулярной его оси вращения.

Аналогично, момент инерции крестовины, т.е. всех спиц (стержней), можно рассчитать по формуле:

J 0 = Kt 0 2 (48)

где коэффициент K определяется так же, и в предыдущем случае.

Для одного стержня, соответственно:

J ст = Kt 0 2 /4 (49)

Воспользовавшись теоремой Штейнера (здесь m ст – масса стержня, r ст – расстояние от его середины до оси вращения и J ст0 – собственный момент инерции стержня относительно перпендикулярной ему оси):

J ст = J ст0 + m ст r ст 2 (50)

и учитывая, что один из концов стержня находится на оси вращения, т.е. r ст составляет половину его длины l ст, мы получаем формулу для экспериментального определения момента инерции стержня относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его центр масс:

J ст0 = J ст – m ст l ст 2 /4 = (Kt 0 2 – m ст l ст 2)/4 (51)

Для проверки соответствия значений собственных моментов инерции однородных тел правильной формы, полученных экспериментально и рассчитанных теоретически, воспользуйтесь данными заданий 1 и 2 и проведите следующие операции:

В таблицу 4 перенесите из таблицы 2 значения r 0 , h и m 0 .

Для всех, использовавшихся в заданиях 1 и 2, значений m 0 рассчитайте значения K и запишите их в таблицу 4.

Значения t 1ср. и t 0ср. из таблицы 3 для соответствующих значений m 0 перенесите в таблицу 4 (в столбцы t 1 и t 0).

Занесите в таблицу 4 значение массы груза-цилиндра m ц (написано на грузе) и перенесите в нее из таблицы 3 значение r 1 .

По формуле (47) для разных значений m 0 рассчитайте экспериментальные значения момента инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно оси симметрии цилиндра J ц0 (э), и запишите их в таблицу 4. Рассчитайте и запишите среднее J ц0 (э‑с) экспериментальное значение.

Измерьте штангенциркулем длину l ц и диаметр d ц груза-цилиндра. Запишите в таблицу 4 значения l ц и r ц = d ц /2.

Используя значения l ц, r ц, и m ц, по формуле (ф6) из таблицы 1 рассчитайте J ц0 (т) – теоретическое значение момента инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно оси симметрии цилиндра.

Измерьте полную длину стержня, учитывая, что l ст = r ш + l , где r ш – радиус шкива, на котором укреплены стержни, и l – расстояние от конца стержня до шкива (l ст можно определить и как половину измеренного расстояния между концами двух противоположно направленных стержней). Запишите значения l ст и массы стержня m ст = 0,053 кг в таблицу 4.

По формуле (51) для разных значений m 0 рассчитайте экспериментальные значения момента инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню J ст0 (э), и запишите их в таблицу 4. Рассчитайте и запишите среднее J ст0 (э‑с) экспериментальное значение.

Используя значения l ст и m ст, по формуле (ф8) из таблицы 1 рассчитайте J ц0 (т) – теоретическое значение момента инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню.

Сравните полученные экспериментально и теоретически значения моментов инерции цилиндра и стержня. Проанализируйте имеющиеся расхождения.

Таблица 4.

Контрольные вопросы для подготовки к работе:

Сформулировать второй закон Ньютона для вращательного движе­ния.

Что называется моментом инерции элементарной массы и твердого тела? Физический смысл момента инерции.

Что называется моментом силы относительно точки и оси вращения? Как определить направление вектора момента сил относительно точки?

Какова должна быть зависимость между угловым ускорением и моментом вращающей силы при постоянном моменте инерции? Как эту зависимость проверить практически?

Как зависит момент инерции тела от распределения в нем массы или распределения массы в системе вращающихся тел? Как убе­диться в этом практически?

Как определить момент инерции крестовины момент инерции вра­щающихся грузов и спиц при отсутствии силы трения?

Контрольные вопросы для сдачи зачета:

Выведите расчетные формулы для всех трех заданий.

Как будут изменяться величины , J и M при неизменном поло­жении грузов на спицах, если

а) увеличить радиуса шкива r 0 при пос­тоянной массе опускающегося груза m 0 ?

б) увеличить m 0 при постоянном r 0 ?

Как изменится момент инерции крестовины с грузами, если их расстояние от оси вращения уменьшить в три раза при неизменном значении m 0 ? Почему?

Чему равен момент инерции простейших тел: стержня, обруча, диска.

Угловая скорость и угловое ускорение тела: определение и смысл этих величин.

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Макаров Игорь Евгеньевич, профессор, д.х.н.

Юрик Тамара Константиновна, доцент, к.х.н.

Изучение законов вращения на маятнике Обербека

(без учета силы трения)

Методические указания к лабораторной работе

Компьютерная верстка Скворцов И.М.

Технический редактор Киреев Д.А.

Ответственный за выпуск Морозов Р.В.

Бумага офсетная. Печать на ризографе.

Усл.печ.л. Тираж экз. Заказ

Информационно-издательский центр МГУДТ

Курсовая работа

тема: «Динамика поступательного движения»

Москва 2013

Введение

Первый закон Ньютона

Второй закон Ньютона

Третий закон Ньютона

Закон всемирного тяготения

Неинерциальные системы отсчета

Основные формулы динамики поступательного движения

Введение

Динамикой называется раздел механики, изучающий движение материальных тел совместно с причинами, вызывающими это движение. Динамику можно разделить на классическую, релятивистскую и квантовую. В этой главе рассматривается классическая динамика. При этом предполагается, что скорости движения тел значительно меньше скорости света (v<>ra). Тела, двигающиеся со скоростями, сравнимыми со скоростью света, описываются в рамках релятивистской механики, а тела, имеющие атомные размеры и меньше, изучаются квантовой механикой.

Начало классической механике положили работы Галилея, а сама классическая механика как наука была сформирована после работ И. Ньютона. В основе классической динамики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Эти законы являются обобщением человеческого опыта и заслугой Ньютона является то, что он из огромного числа опытных фактов сумел выделить главные, которые стали краеугольными камнями классической физики.

Механическое движение тела можно разложить на поступательное и вращательное и, соответственно, отдельно рассматривать динамику поступательного и вращательного движений. Для описания динамики поступательного движения, кроме кинематических характеристик, необходимо ввести ряд новых понятий, важнейшими из которых являются понятие массы и силы.

1. Первый закон Ньютона

Первый закон Ньютона: Всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.

Математически этот закон можно записать в виде=const или v = 0 при F = 0,

где F - сила, действующая на точку. Оба равенства можно заменить одним a = 0 при F = 0.

До работ Галилея считалось, что для поддержания движения с постоянной скоростью к телу необходимо прикладывать некоторую силу. Об этом говорил повседневный опыт, положение о наличии силы было заложено в физическом учении Аристотеля. Галилей учел наличие сил трения и путем логических рассуждений пришел к выводу, сформулированному первым законом Ньютона. Инертностью называется стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Опыт показывает, что все тела обладают инертностью. Более подробно понятие инертности обсуждается ниже. Система отсчета называется инерциальной, если в ней выполняется первый закон Ньютона. Поэтому иногда первый закон Ньютона называют законом инерции. Кроме инерциальных, существуют и неинерциальные системы отсчета, т.е. такие системы, в которых не выполняется первый закон Ньютона (ускоренно движущийся автомобиль, центрифуга и др.). Неинерциальные системы отсчета обсуждаются ниже.

Если вспомнить второй закон Ньютона

то получается, что первый закон вытекает из второго при. Это вызывает определенное недоумение. Зачем провозглашать в качестве закона элементарное следствие из другого закона?

Если силы известны, то из следует. С другой стороны, как знать, что на тело не действует сила? Можно сказать, что, если, то и. Получается замкнутый круг.

Пример: падающий лифт является инерциальной системой, хотя он и движется с ускорением относительно земли. Здесь тело движется с постоянной скоростью, если на него не действуют внешние силы.

Смысл первого закона заключается в том, что если на тело не действуют внешние силы, то найдется система отсчета, в которой это тело покоится или движется с постоянной скоростью. Таких систем бесконечно много.

В «астрономической системе отсчета» центр системы координат связан с Солнцем, а оси направлены на неподвижные звезды. С очень высокой точностью такая система является инерциальной.

механика масса инерционный

2. Второй закон Ньютона

Для формулировки второго закона Ньютона необходимо ввести понятия массы и силы. Известно, что всякое тело противится попыткам изменить его состояние движения. Это свойство тел назвали инертностью. Основной характеристикой инертных свойств тела является масса. Существуют различные определения массы.

Массой называется физическая величина, определяющая инерционные свойства тела. Для того, чтобы пользоваться этим определением необходимо указать метод измерения инерционных свойств. Можно, например, рассмотреть изменение движения различных тел под действием одной и той же силы. Сравнивая ускорения, приобретаемые различными телами, можно получить сравнительные оценки и для масс. При этом тела, обладающие большей массой, получают меньшее ускорение.

Массой называется количество вещества, содержащегося в теле. Такое определение массы дал Ньютон. Это достаточно общее, но не вполне строгое определение (в рамках теории относительности масса может меняться при движении).

Существует также понятие гравитационной массы, которую можно определить, используя гравитационное взаимодействие между двумя массами, описываемое законом Ньютона

где G = 6,67·10 - 11 м3/кг·с2 - гравитационная постоянная, т1 и т2 - массы тел, r - расстояние между телами.

В качестве единицы массы принят 1 кг - масса эталона, хранящегося в Международном бюро мер и весов (Париж). Силой называется векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры. В рамках классической механики можно выделить несколько наиболее часто встречающихся видов сил. Из фундаментальных сил, которые нельзя свести к более простым - это гравитационные и электромагнитные силы. Частным случаем гравитационной силы является сила тяжести. Часто приходится иметь дело с упругими силами и силами трения. Рассмотрим эти силы более подробно. Гравитационные силы описываются формулой Ньютона, приведенной выше. Если в качестве массы взять массу Земли М, а в качестве r радиус Земли R, то получим выражение для силы тяжести

Величина Р определяет силу, с которой притягиваются к земле все тела, имеющие массу т. Весом тела называют силу, с которой тело действует на горизонтальную опору. Если не учитывать вращение Земли и рассматривать неподвижную относительно Земли систему отсчета, то вес тела совпадает с его силой тяжести. В более сложных случаях следует учитывать силы инерции (см. ниже).

Упругие силы возникают при деформации тел (растяжение или сжатие, изгиб, кручение) и обусловлены межмолекулярным взаимодействием. При растяжении пружины от положения равновесия на величину х возникает упругая сила

Здесь k - жесткость пружины, - константа, характеризующая упругие свойства пружины. Знак минус указывает на то, что сила направлена в сторону, противоположную смещению пружины и стремится вернуть пружину в положение равновесия. Силы трения появляются при перемещении соприкасающихся тел относительно друг друга. Трение между поверхностями двух твердых тел при отсутствии какой-либо прослойки между ними называют сухим трением. Различают трение покоя, трение скольжения и трение качения. Если на тело, лежащее на плоской шероховатой поверхности, действует сила F, но тело не движется, то сила F уравновешена силой трения.

Эту силу называют силой трения покоя. Она действует на тело со стороны поверхности на границе соприкосновения и определяется формулой

Сила трения скольжения определяется формулой

где k - коэффициент трения, N - сила реакции опоры. Она определяет усилие, с которым тела прижимаются друг к другу (сила нормального давления). Приведенную формулу иногда называют законом Кулона - Амонтона.

Силы трения покоя и трения скольжения часто объединяют в одну, которую определяют формулой

График этой силы имеет вид

Сила трения качения мала по сравнению с силами трения скольжения, и мы ее здесь не рассматриваем.

Об электрических и магнитных силах речь будет идти в соответствующих разделах электромагнетизма. На атомном и ядерном уровнях вместо сил обычно рассматривают взаимодействия, которые описывают с позиции энергии.

Второй закон Ньютона: Ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально действующей на нее силе и обратно пропорционально массе точки:

Обычно этот закон записывают в виде

Здесь сила и ускорение рассматриваются как векторы.

Единицей силы в системе СИ является 1Н (ньютон) - это сила, под действием которой тело массой 1 кг приобретает ускорение в 1 м/с2

Отметим, что масса и сила являются аддитивными величинами, т.е. масса системы материальных точек определяется выражением

а действие нескольких сил можно заменить действием одной

Если F = 0, то из второго закона Ньютона вытекает a = 0. Отсюда следует, что при отсутствии внешних сил v = const, т.е. утверждение, содержащееся в первом законе Ньютона. На самом деле ценность первого закона в том, что он утверждает существование инерциальных систем отсчета. Импульсом материальной точки называется величина

Второй закон Ньютона является основным законом динамики поступательного движения.

Третий закон Ньютона

Мы рассматривали действие других тел на выбранное тело. На самом деле между различными телами существует взаимодействие, т.е. выбранное тело также воздействует на другие тела.

Третий закон Ньютона: Силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению.

Если тело покоится на горизонтальной плоскости, то схема действующих сил имеет вид

ила нормального давления N cвязана с силой тяжести соотношением

Для тела, движущегося по шероховатой горизонтальной плоскости под действием силы F, можно ввести следующие основные силы, показанные на рисунке:

Как отмечалось выше, сила трения описывается выражением

где k - коэффициент трения.

Закон всемирного тяготения

Из множества сил, способных действовать на материальное тело следует выделить силы всемирного тяготения. Они составляют закон, открытый Ньютоном и позволивший объяснить движение небесных тел и происхождение силы тяжести. Три закона Ньютона в совокупности с законом тяготения позволили Ньютону создать небесную механику и объяснить законы Кеплера, движение планет, комет, спутников и других небесных тел.

Закон тяготения Ньютона. Две материальные точки массами и, расположенные на расстоянии r друг от друга, притягиваются с силой, прямо пропорциональной массам этих точек и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:

Здесь G = 6,67·10 - 11 м3/кг·с2 - гравитационная постоянная. При этом сила направлена вдоль линии, соединяющей точки.

Эта формула справедлива для материальных точек, т.е. когда размерами тел можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними. Если размеры тел сравнимы с расстоянием между телами, необходимо использовать операцию интегрирования.

Как уже отмечалось, из закона тяготения легко получить выражение для ускорения силы тяжести

где М и - масса и радиус Земли.

Пример 1. Определить изменение ускорения силы тяжести при изменении высоты подъема над поверхностью Земли.

Решение. Ускорение силы тяжести определяется формулой

где - радиус Земли, h - высота подъема. При получим

ускорение силы тяжести на поверхности Земли.

Полученная формула показывает, что заметного изменения g можно ожидать на высотах, сравнимых с радиусом Земли км.

Вопрос. Почему космонавты испытывают чувство невесомости на высоте км?

Пример 2. Определить первую и вторую космические скорости, т.е. скорости при которых ракета будет вращаться вокруг Земли или покинет Землю.

Решение. Сделаем рисунок

Первая космическая скорость определяется из условия

Отсюда получим

Для определения второй космической скорости найдем работу, которую надо совершить для удаления ракеты от Земли

Из закона сохранения энергии

Аналогично можно найти третью космическую скорость, при которой ракета покинет Солнечную систему.

Неинерциальные системы отсчета

Законы Ньютона справедливы только в инерциальной системе отсчета. В частности, в ускоренно движущемся лифте при отсутствии внешних сил траектория материальной точки будет отличаться от прямой линии. Если в ускоренно движущемся лифте измерять вес тела с помощью пружинных весов, то в поднимающемся и опускающемся лифтах показания весов будут разными и отличаться от показаний в покоящемся лифте.

Система отсчета называется неинерциальной, если она движется с ускорением относительно инерциальной системы. Если и - ускорения материальной точки в инерциальной и неинерциальной системах, - ускорение системы отсчета, то

Геометрически это имеет вид

Законы Ньютона можно записывать в неинерциальных системах, если к действию внешних сил добавить силы инерции:

где - ускорение материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета. Значение силы инерции зависит от выбора неинерциальной системы отсчета и характера движения материальной точки в этой системе. Соответственно двум движениям тела - поступательному и вращательному - применяют как поступательно движущиеся, так и вращающиеся неинерциальные системы отсчета.Отметим, что сила инерции отличается от других сил тем, что она существует только в неинерциальной системе отсчета и для нее нельзя указать тех конкретных сил, со стороны которых она действует. В частности, силы инерции не подчиняются третьему закону Ньютона - для них нет силы противодействия. Соответственно, в неинерциальных системах могут не выполняться законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Отметим, что связь между силами инерции и силами тяготения лежит в основе общей теории относительности Эйнштейна.

Рассмотрим простейшие случаи проявления сил инерции.

) Ускоренное поступательное движение системы отсчета. Если в инерциальной системе отсчета уравнение Ньютона имеет вид

то в неинерциальной системе получим

Если в неинерциальной системе материальная точка покоится (), то

Эта формула дает выражение для силы инерции в поступательно движущихся неинерциальных системах.

) Центробежная сила инерции. Рассмотрим материальную точку, закрепленную на вращающемся диске.

На точку действует сила инерции

которую называют центробежной силой инерции. Она направлена по радиусу от центра вращения. Используя векторные обозначения, запишем эту силу в векторном виде

В справедливости этой формулы нетрудно убедиться, построив соответствующий рисунок и указав направления векторов.

) Силы Кориолиса. Во вращающейся системе отсчета центробежная сила действует как на неподвижное, так и на движущееся тело. Кроме на движущуюся во вращающейся системе отсчета материальную точку действует дополнительная сила, связанная с перемещением этой точки.

Силой Кориолиса называют силу, связанную с движением материальной точки во вращающейся системе координат. Более полное название этой силы - кориолисова сила инерции. Действие этой силы показано на рисунке.

Если диск не вращается, материальная точка при отсутствии внешних сил движется по прямой ОА. Во вращающемся диске траектория материальной точки относительно диска изобразится кривой ОВ. Следовательно, по отношению к вращающейся системе отсчета на материальную точку действует сила FK, направленная перпендикулярно скорости v (скорость задается относительно диска, т.е. в неинерциальной системе координат). Можно показать, что сила Кориолиса определяется формулой

Эта формула остается справедливой при любом направлении скорости (не обязательно по радиусу).

Итак, в произвольной неинерциальной системе отсчета основной закон динамики имеет вид

Здесь сила F вызывается взаимодействием между телами, а силы Fи, Fц и FК связаны с ускоренным движением системы отсчета.

Отметим, что в неинерциальной системе отсчета при использовании законов сохранения энергии и импульса необходимо учитывать действие сил инерции.

Основные формулы динамики поступательного движения

Импульс

Второй закон Ньютона

Третий закон Ньютона

Сила гравитационного взаимодействия

Сила сухого трения

Координаты центра масс

Уравнение движения в неинерциальной системе отсчета

Сила инерции

Центробежная сила инерции

Сила Кориолиса

Список использованной литературы и источников

1. Трофимова Т.И. Курс физики, М.: Высшая школа, 1998, 478 с.

Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики, М.: Высшая школа, 1996, 304с

Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики, СПб.: «Специальная литература», 1999, 328 с.

Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с решениями, М.: Высшая школа, 1999, 592 с.

Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В.С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

Красильников О.М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

Супрун И.Т., Абрамова С.С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.